积分

$\int \cot t\mathrm{d}t =\int \dfrac{\cos t}{\sin t}\mathrm{d}t=$

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不定积分是求导的逆运算，求 $f$ 的不定积分就是求哪个函数求导得到 $f$。

不定积分才有 $C$， 且同一个不定积分的 $C$ 是相同的。

定积分 理解为 两数之差 时 使用 原函数作差。

定积分 理解为 面积 时 使用 被积分函数的图像 求面积。

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分部积分法

$\int uv'\mathrm dx=uv-\int u'v\mathrm dx$

$\int u\mathrm{d}v=uv-\int v\mathrm{d}u$

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有理分式函数的不定积分

第一类换元法：$\int g(F(X))f(x)\mathrm{d}x=\int g(F(x))\mathrm{d}F(x)$

例： $\begin{aligned} &&&\int x \sin(x^2)\mathrm d x 1\\ &=&&\dfrac{1}{2}\int \sin(x^2)2x\mathrm{d}x\\ &=&&\dfrac{1}{2}\int \sin(x^2)\mathrm{d}(x^2)\\ &=&&-\dfrac{1}{2}\int \cos(x^2)\mathrm{d}x + C \end{aligned}$

第一类换元法也叫凑微分法，是说被积函数中的一部分可以与 $\mathrm dx$ 相乘变成 $\mathrm d\text{别的东西}$ ，变完之后更好积， 例题里的 $2x$ 恰好能与 $dx$ 凑成 $\mathrm d(x^2)$

第二类换元法：$\int f(x)\mathrm{d}x=\int f(x(t))\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t$

例：$\int e^{\sqrt x} \mathrm{d}x$

令 $t=\sqrt x$ ，则 $x=t^2 \to \mathrm dx=2t\mathrm dt$ ， 回代得 $\text{原积分}=\int e^t2t\mathrm dt$ ，然后使用分部积分法。

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反常积分

即瑕积分和无穷限积分。

瑕积分：积分区域包含瑕点的积分。

瑕点：函数值为 $\infin$ 的点。

无穷限积分：积分上下限为 $\infin$ 的积分。

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语法糖

$\int_{\text{常数}}^{+\infty}=\lim_{h \to +\infty}\int_{\text{常数}}^h$

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原函数的定义

如果 $F'(x)$ 的导数是 $f(x)$ ，则称 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。

显然，如果 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数（即 $F$ 导出 $f$ ），则 $F(x)+C$ 也会是 $f(x)$ 的一个原函数（ $C$ 是常数）。

可以证明，f(x)的所有原函数只会是 $F(x)+C$ 这一种形式

比如说 $f(x)=2x$ 的一个原函数是 $F(x)=x^2$ ，则 $f(x)$ 的原函数只有 $x^2+c$ 这一系列，其他函数都不会是 $f$ 的原函数。

这个定理我们不证。

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不定积分的定义

$2x$ 的全体原函数是 $\{x^2+C \mid C \in \mathbb{R}\}$ ，这是一个集合。

我们把这个集合简记为 $x^2+C$ ，称它为 $2x$ 的不定积分。

所以其实不定积分是 Callable[函数，set[函数]] 。

积分常数 $C$ 的性质

$+C$ 是个语法糖

因为 $\text{全体常数}+\text{全体常数}=\text{全体常数}$， 所以 $C+C=C$，$2C\text{也}=C$。

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不可积 函数

考虑 $f(x)$ 是狄利克雷函数： $D(x)=\left\{\begin{aligned} &1,\qquad &&x\in \mathbb Q,\\ &0,\qquad &&x\in \mathbb R \backslash \mathbb Q, \end{aligned}\right.$

这个 $f(x)$ 太怪了，没有函数能导出它来。

就是 $f(x)$ 没有原函数，称 $f(x)$ 不可积。

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积不出 函数

现在考虑 $f(x)=e^{x^2}$ 。

它有不定积分，就是有一个函数 $F(x)$ 求导为 $f(x)$， $F(x)$ 的图像可以画出来。

但是这个 $F(x)$ 既不是 $e^{x^2}$，也不是 $e^{(\sin x)^2}$，也不是 $e^{x^x}$ ……， 他既不是我们已有的函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等）的和， 也不是他们的有限次复合。

他就是一个普通的没名字的函数，我们无法通过别的语言描述他， 就是我们无法通过 $^2, \ln, \sin, \arctan$ 等等这些符号描述它。

只能描述为 $e^{x^2}$ 的不定积分。

比如 $e^{x^2}$ 的不定积分是 $\text{（一个不能通过现有的符号表示的函数）} + C$ 。

这种不定积分 存在，但不能被 ‘幂函数 指数函数 对数函数 三角/反三角函数 及其四则运算或有限次复合’ 表示。

我们说 $e^{x^2}$ 的不定积分 存在但非初等， 称 $e^{x^2}$ 积不出。

以下都是积不出的函数，不要尝试积分，不需要记忆。

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$0 \sim 1$ 区间上定积分的定义

我现在要求阴影部分面积。

我取四个采样点：$\dfrac{0}{4}$，$\dfrac{1}{4}$，$\dfrac{2}{4}$，$\dfrac{3}{4}$。

上图中阴影部分的面积是： $f(\dfrac{0}{4}) \times \dfrac{1}{4} + f(\dfrac{1}{4}) \times \dfrac{1}{4} + f(\dfrac{2}{4}) \times \dfrac{1}{4} + f(\dfrac{3}{4}) \times \dfrac{1}{4}$ ，$f(x)=x^2$ 。

通过不断增加采样点数量，阴影部分面积会逐渐逼近所要求的大不规则图形的面积。

比如上图中的面积是 $\dfrac{1}{8}\times\left(f(\dfrac{0}{8})+f(\dfrac{1}{8})+f(\dfrac{2}{8})+\cdots+f(\dfrac{7}{8})\right)$ 。

我取 $n$ 个采样点，面积就是 $\dfrac{1}{n}\times\left(f(\dfrac{0}{n})+f(\dfrac{1}{n})+f(\dfrac{2}{n})+\cdots+f(\dfrac{n-1}{n})\right)$ 。

$n \to \infty$，这个极限式的结果就是所求不规则图形的面积。

$1^2+2^2+\cdots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ 。

这是取了每一个矩形的左端点， 其实更常见的取法是取每一个矩形的右端点。

对应到这里是 $\dfrac{1}{4}\times\left(f(\dfrac{1}{4}) + f(\dfrac{2}{4}) + f(\dfrac{3}{4}) + f(\dfrac{4}{4})\right)$ 。

$n$ 个采样点是 $\dfrac{1}{n}\times\left(f(\dfrac{1}{n})+f(\dfrac{2}{n})+\cdots+f(\dfrac{n}{n})\right)$ 。

算出来的答案是一样的，但是更直接一点。

$n$ 个采样点是 $\dfrac{1}{n}\times\left(f(\dfrac{1}{n})+f(\dfrac{2}{n})+\cdots+f(\dfrac{n}{n})\right)$ 。

把这个$n \to \infty$，就是函数 $f$ 在 $0\sim1$ 区间的定积分 。

省略号太不优雅了，上大学要习惯使用求和符号 $\sum$ 。

$f(x)$ 在 $0\sim1$ 的定积分 $=$ 要求的不规则图形的面积 $=$ 刚才的极限式。

你可以回顾一下刚才的步骤，经历了 采样 $\to$ 求矩形的面积之和 $\to$ 求 n 到无穷极限 的步骤，分别对应着 $f(\dfrac{i}{n})$，$\dfrac{1}{n}\sum$，和 $\lim$ 。